Просветни гласник

А 1> И Т М

195

АРИТМЕТИКА КАО ЈЕДНОСТАВАН И ДОСЛЕДАН НАСТАВНИ СИСТЕМ. предавање професпрп Хуга Ајхдера на збору друштва »Кеа1всћи1е <! у Бечу, 15. Марта 1891). годиие. Генетична таб,лица рачунс^их радња.

РЧ

Неиосредне

Обрнуте

1 + 1 + 1 + 1+....

8 — а = 6 '

Сабирање

8 — 6 = 0

№ + 6 = 8

Одузимање

0/ + О ј а -ј-. ...

Множење

с : 6 = а

аЂ = с

Дељење

а. а. а. а

II ©

III

Стеиеновање

Кореповуње

а" = р

а 1о§ р = п Логаригмовање

Изв|»ш.1>11ве| релативним бројевила

<Р ( и )

иегативни б^ојеви

разломљеници ирационалии и уображени бројеви

«(— о

аУТ а (=р Г)

Ова генетична табдида рачунских радња ноказ^је једноставан скдон наставног сп^тема арптметнке. Све неаосредне радње вишега реда постају пз радња ншкега реда, кад се нзједначе данп бројевн; а код објанутих рачунскпх радња претпоставља се, да је познат ресултат једног даног броја н једне непосредне рачунске радње, па се тражн онај други број, којн је у непосредној радњи био учинидац нознатог ресултата. Сабирању, као н множењу, одговара само по једна протнвна (обрнута) радња, јер се вредност збпру не мења разменом његовпх сабирака, као што се ни пропзводу не мења вредност, кад му се чинитељи размене; напротпв сгепеновању две су радње противне, јер се основа са изложптељем не може размениги, а да се тиме не реметп вредност степене колнчнне. Из истог разлога не може бнтн какве више непосредне ратунске радње, јер се добијају разлнчни ресултатп, кад се при свођењу степена степене количине по .1азп са основе нлп са највишег изложитеља. Свакако је 2 4 = 4 2 , алн је 2 2 ' 1 = 1б' 2 < 2 16 , а тако исто и З з3 = 27 3 < 3'" и т. д. Узгред да напомеиемо, да пма много разломљеннка, којима се вредност не мења, кад се нзложитељ узме за основу, а основа

буде изложнтељ, а то су разломци облпка 11 + 1 V 1 + '

стененовани изложптељем

I" _Л 27 Г Г 8 ~{ в) '

па пример

(Неиде!, Еттепсћ, 1888).

Даље се може горњој таблпци додатн нравило, да се све радње впшега реда своде на оне нижег реда рачунањем изложитељима нли логаритмима. Код свпју непосредннх радња тражи се пењање у реду природних бројева, и с тога су ове радње увек извршљпве а код обрнутих операци' ( рачунских тражп се враћање у том реду ирирс них бројева, п с тога је могућноЈТ, да се овака радња изврши, условна; па у колнко тај услов ннје испуњен, наилазимо на нове бројне облике. Негативни су бројевн према томе разлике добнвене одузпмањем, кад је умалптељ већи од умаљеника. Умаљенику не можемо одузетн впше природних јединица, но шго их има. Разломљеници су колпчннцн добивенн деобом дељеника, који ннје био множпна делнтељева. Дељивост је само особина множине. Ирационални и уображени бројевн јесу ресултат кореновања, кад раднканд нпје степена колнчина с онаквнм истим нзложитељем као што је пзложитељ корена Диринг у свом делу „Огшн1пиМе1п с1ег Апа1у81»", 1884, назива све ове бројеве заједничким имеиом : релативни бројевн, и сматра их као функције прнроднпх бројева, напомнњућц при том изрично, да код негативнпх н уображеипх бројева наступа квалитативна нромена. Ово пас не може нзненадпти, кад помнслнмо, како се чесго квалптет мерп квантнтетом. Разлнка нзмеђу богаства н снромашгва само је квантитатнвна. Квалнтет звука и оптичких боја завнсп од колнчппе внбрација; шга внше, звук п светлосг н не разлнкују се тако битно ничнм другнм до бројем вибрацнја њихових таласа. Кад се једном науче свих седам врста рачунања не само природннм бројевнма, већ н са оне 4 врсте релатпвних бројева, онда је већ исцрпена садржнна чисте аритметике. Све остало, а нарочнто рачунање имеповаппм бројевима, долазп у нрнмењену аритметику или алгебру. Па н на ово поље допнре корнсг горње таблице, јер се сваки број преносн с једне стране какве једначнне на другу, кад се њиме извршц протпвна рачунска радња. По овим изложеипм начелнма израђен је један старији уџбеник аустријскн, који на жалост нпје нознат толико, количо заслу;кујс. Мп мпслнмо уц25 *