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p(x), b(z) et A(z) étant des fonctions entitres de genre nul et d’ordre nul; F(z) et K(x), des polynomes ou des fonctions entiéres.

De (1) et (2), on déduit Pale + A(z) = $2),

Comme d’apres Borel, cette identité n’est possible que si H(z) et K(z) sont des constantes, la fonction f(z) sera donc de la forme

2) = &®&) f(z) b@"

Proposons nous enfin de chercher une limite supérieure de | f(z) | dans le plan dont nous excluons toutes les couronnes circulaires obtenues de la maniére suivante: Soit B, le module d’un pédle b,, nous tracerons de Vorigine comme centre les deux cercles de rayons B.—1, 8.+1 et nous excluons la couronne (C,,) comprise entre ces deux cercles.

Comme la fonction entiére $(z) est d’ordre nul, il résulte que d’aprés un _ théoréme de M. Hadamard on a dans le plan dont on a exclu les couronnes (Cu)

IP@)|>e"(z| = 7), (3) D’autre part, la fonction entiére @(z) étant d’ordre nul et le nombre de

ses zéros dans chaque couronne (I, ) étant borné, nous avons 4 |’aide dun théoréme de Valiron®!

M(r) a etilogr) () M(r) désignant le module maximum de @(z) pour |z|=r, A étant une constante.

on de (3) et (4) que l’on a dans le plan dont on a exclu les couronmesm(Ge | f(z) | <e"tAllogr)” (G)

_ Ce quil importe d’observer jci, Cest que la région exclue du plan est infiniment petite par rapport a celle que l’on conserve. Il en résulte que Pinégalité (5) est valable dans la plupart du plan.

En terminant ce paragraphe, nous énoncons la proposition suivante dont la démonstration n’est pas difficile: