Записки Русскаго научнаго института въ Бѣлградѣ

208

2—1 $ (п) =5 (22-95 (Р = .(1--Р)=

== (22 — 1) (1-Е Р) = (22 — 1) = 9, что и требовалось доказать.

4. Число четныхъ совершенныхъ чиселъ зависитъ такимъ образомъь оть числа первоначальныхьъ чиселъ вида 2Р — 1.

Для значенй р соотвфтственно 9, 3, 5,7 мы получаемъсоотв5тствующия совершенныя числа:

4 Р= № —1= 3 пара 9. 3= 6 —= 8 Р=№—1= 7 пра р= 4. 7= 98 р=б5 22= 32 РЕ 1 31 п— 9-1 Р=16. 31= 496. р=7 2=128 Р= —1=127 п РР 64. 197=8198.

Но при р=11, мы получаемъ 22 = 2048, а потому

> | м 2 э ||

Р== 2047. Число это не первоначальное, ибо 2047 —=23. 89,

а потому числу р ==11 не соотв$тствуетъ совершеннаго числа. Такъ какъ вопросъ о числЪ первоначальныхъ чиселъ

вида 9? — 1 совершенно неизслЪдованъ, то остается открытымъ и вопросъ о числ четныхъ совершенныхъ чиселъ.

Доказано только:

1. Что четныя совершенныя числа существують'); 2. что четныя совершенныя числа могутъ быть только двучленныя опредфленнаго состава. 5. Совершенно невыясненнымъ является вопросъ о существован!и нечетныхъ совершенныхъ чиселъ. До сихъ поръ не дано ни одного примра, доказывающаго ихъ существован!е ®). ИзслЪдованше этого вопроса представляеть неопреодолимыя трудности.

1) Въ настоящее время доказано, что число вида 9 — 1 будеть первоначальнымъ для значенй р: 2, 3, 5, 7, 13, ПТ, 19, З1, 61, 89, 107, 127:

Въ соотвфтств!и со сказаннымъ выше, извЪстны дв Ъ надцать четныхъ совершенныхъ чиселъ. (См. М. КгатЕс нтк. „ВесгваНоп$ МаетаНацез“, ВгихеПе$).

* „ОлерЁ ез ипепайсв \1ее ипеегаае уо!копипепе 2авеп? ]сН \уе!55: сё еттар об ез аисН пиг еше еа21ое о1еБ“.

(Гап4ац, Уопез. ибег Хашеп®еоне, Ва. Ъ 19, 1.еря,.1927)..