Просветни гласник

198

ИЛУКА И НАСТАВА

казати овако решење : један ће раденик радити за све време (4 дана), а други само половипу тог времена. Други један нзвор привидних контрадикција потиче из неоправдане тежње, да се арнтметички основни појмови протумаче геометријским средствима. И ако је геометрија најбоље средство за очигледпу представу арптметичких закопа, ипаи су геометрија и аритметика свака за се ограничена целина, и морају се према својој прпроди свака самостално обрађивати, т. ј. арптметичке истине треба аритметички и доказпватн. Тумачење негативних бројева супротним правцима једпе праве даје повода забунама, јер може неко рећн : две тачке на апсциспој осовини, + 4 и — 3, удаљене су једна од друге за 7, међутим је збир овнх бројева + 1. Свакако се овде заборавило, да сз међусобло одстојање двеју тачака, које су одређене одстојањпма од почетка, не налази никад сабпрањем већ одузимањем, те се тако отклања опа песугласи Ј ,а. Још грђу погрешку нађосмо у уџбеппку Др-а Фалкланда (Л.ангенсалца, 1887), који је иокушао да правпла о арптметнчким знацима код множења објасни правоугаоником, подељенпм па 4 поља, на којима се заиста види извесна супротност дужина, али не и површпна, те је тако остало необјашњено оно, што се је хтело објаспати. Осиовнп појмови аритмстачкп н геометрнјски не иодударају се. Бројање на више и на ннже свакојако се слаже с кретањем у супротним правцома, алн произиод више од три чинитеља нема никаквог геометријског зиачења, нптн производ негативних дужина може имати ма каквог геометријског обележја. Кад бисмо на пр. хтели рећи, да је пронзвод двеју позитивнпх дужи бео нравоугаоник, а производ неједнако означених дужи црн, — да бисмо промену знака једног чинитеља очигледно нредставили променом боје — онда би нропзвод два негатнвна чинитеља морао бити опет бео правоугаоник, с тога што је сад другн чинитељ променио заак; н тако бисмо нмали једно очпгледно срество за објашњавање аритметпчкпх нстпна, каје би се још помоћу белих и црнпх коцака могло применпти и на три чпннтеља, само што бело и црно нпсу геометријске особине. — Исто тако ипје нико до сад могао дати геометријског значења 4. илп впшем степену , а један основнп облик аритметпчки, полином, геометријска је немогућност. Друге примедбе нротнв доследности аритметичког система потекле су из рачунања нулом н бесконачним количинама. Једначнна а° = 1 не слаже се са одредбом степене количине, по којој основа а, неузета нпкако као чинитељ, даје 0, а не 1.

Ну како нула може бити само ресултат одузнмања, а одузимање изложптеља јавља се само код дељења степенпх колнчипа с једнаким основама, то смо се вратилп нравилу: Свакп број. подељен сам собом, даје 1. — Већ овај случај показује, да се нулом, као одрицањем броја, не сме рачунати као да је она број, него се у сваком поједином случају мора пспитати, у колпко је допуштено нулом Формално као бројем рачунати. Пптања оваке прпроде веома су омиљена у неким немачкпм уџбеницима, на пр. Тетеровом у Хановеру (1881.) н Ландмесеровом у Впртембергу (1883); она се дају већнном свести на једначпну облнка : та -ј- ћт = ат -ј- ћт, одакле се премешгајем чланова налазн: а (ш — т) = ђ (т — т), или по скраћењу са (т — т), да је а = ћ т. ј. да су ма која два броја једнака; међу тим је у ствари овде доказано само то, да сваки број помножен нулом, даје опет нулу. — И рачупање бесконачно великим бројевпма даје чесго повода сумњи ; тако се налази код Енхолца (Арау 1888) овакав количнпк: 1: (1 х) = 1 — х -ј- х 2 — х 3 -{- х 4 — х 5 + 1 ! I 1Ч__ 1 1 I 1 1 . 1 н 1: Сх + 1)_ т -^ + 1 5-- 1 +^.Замењујући овде х бројним вредностима, чуди се Енхолц да се ресултати не слажу ; а то долази отуд, што је првп ред збирљнв само за вредиосги мање од I, а други за вредности веће од 1, а несугласица је само привпдна, јер је разлика између два бесконачно велика броја неодређен израз, т. ј. — оо = а. И ако номенуте прнмедбе прогпв досдедносгп аритметичког снстема нису основапе, нпак се може објасннти њихов постанак; алн нма замерака, о којима се то не може рећи. Тако се пспитивање, да ли се иозитивним бројевима може рачунати као и прпродннм, мора обележитн као беспредметно. Кад се у неком удружењу налазе два Јована Јовановнћа, онда се један од њих, за разлнку од другог, зове Јован Јовановић старијп, не мењајућп услед тога ни у колпко својих особнна. Тако се исто и природнн бројеви, за разлику од пегативних, зову позитивни, а доцније и цели, стварни и рационални, не мењајућн тпме својих особина. Шта внше, позитпвнп су бројевп, док се не приступи разломљенпцима, иденгични с прпроднпм бројевима; како би иначе било могуће оно ортограФСко правило: где нема знака, замишља се р1из. Иа питање : шта је управо геометријска размера ? — може се просто одговорпти: назначен колпчнпк ! За доказ навешћемо, како се у многим приликама размера казује једним бројем. Ако вам