Просветни гласник

196

НАУКА И НАСТАВА

Фпкација круга". Норед израчунавања обима кружног важно је н израчунавање његове иовршпне из полупречника илн пречника, а тај рад, »нумерична квадратура", може се свести на нумеричну ректиФикациј), т. ј. на рачунање броја л. У едементарној геометрији доказује се, да је површина једнога круга равна површини троугла, који постаје, кад се у кругу повуче полупречник и у његовој крајњој тачки подигне управна, на коју се, из почетне тачке, преноси дужина кружног обима, па се обе крајње тачке споје с кружним средиштем. Из овога следује, да је површина кружна толико пута већа од квадрата над полупречником, колики је број л. Од ове нумеричне ретиФикације и квадратуре круга, основане на израчунавању броја л, ваља добро разликовати задатке, који траже, да се из полупречника или пречнпка неког круга конструктивним путем нађе права, која би била равна обиму, или квадрат, који би био раван површини, а ти би се задаци могли згодно назвати „конструктивна ректиФПкација" и „конструктивна квадратура". Употребом нриближне вредности за број л могли бисмо ириближно решити и помепуте задатке; ну решити конструктивни задатак значи у геометрији, да се математички тачмо реши. Кад би број л био потпуно раван односу двају целих бројева, онда не би било никакве тешкоће у конструктивној ректификацији. Кад би на пр. обим неког круга био тачно З 1 /, пута већи од пречника, ми бисмо поделили пречник у 7 једнаких делова — што се даде извршити шестаром и врстаром по планиметарским елементима — и пренели бисмо на некој правој 7 и нађених делова, те бисмо добили дуж, која би била потпуно једнака обиму. Ну доказом је утврђено, да у ствари не постоје таква два цела броја, који би својим односом тачно дали број л, ма како их велике узели. Према томе ректиФикација, на показани начин, не води циљу. И сад настаје питање: да ли из доказанога Факта, да број л није раван односу двају целих бројева, не сдедује и немогућност да се конструјише права, која би била потпуно равна обиму кружном? Ну у геометрији имамо примера за две дужи, да се једна из друге лако може конструисати и ако се даје доказати, да два цела броја не могу бити у размери за оне дужи. Такве су две дужи н. пр. страна и дијагонада неког квадрата, код којих је размера приближно једнака 5 : 7. Па ипак се може лако конструисати једна дуж из друге, једном употребом шестара и врстара. То исто би могдо важити и за ректиФИкацију кружне црте. Из немогућности дакде, да се л представи као размера

! двају целпх бројева, не сме се закључити, да је и ректиФнкација немогућна. Ово важп и за квадратуру круга, пошто је напред показана истина, да је круг једнак праЕоуглом троугду, чија је једна катета једнака полупречнику, а друга обиму кружном. Кад бисмо имали ректиФнкован обим троугла, онда бисмо моглп поставити и такав троугао ; а из пданпметријских основа знамо, да се сваки троугао може претворпти у квадрат конструктивним путем, те бц се по томе могао нацртати квадрат, којп бибио једнак кругу, с том претпоставком, да би се могда извршити ректификација његова обима. Пошто су задаци о израчунавању броја л, ректнфикација и квадратуре круга у јакој узајамној вези, дужни смо да се, претресајући историју квадратуре круга, обазремо и на истраживање броја л, као и на испитивања о ректиФПкацији кружне црте. Више пута поменусмо израз „конструисати шестаром и врстаром", и зато је оиравдано да покажемо значај ових помоћних средстава. Кад се у геометрији тражи, да се нека слика уопште само нацрта, потребне су и извесне погодбе, те да можемо добити само једну слику, или у ограниченом броју. Такав потпуни захтев зове се у геометрији конструкциони задатак, или, кратко, задатак. Да бисмо решиди такав задатак, сводимо га на друге дакше задатке, чије нам је решење већ познато; како пак обично и ови зависе од још простијих задатака, додазимо најпосле на задатке, који се сматрају као основи и који су, тако рећп, камен темељац свима геометријскпм конструктивним задацпма. Тражењем тих основних задатака показадо се, да се сви геометријски задаци у едементарној планиметрији могу свестн па решење овпх пет задатака: 1.) да се повуче права црта, која пролази кроз две дане тачке ; 2.) да се нацрта круг, чије је средшпте одређена тачка, а подупречник му је позната дужина ; 3.) да се нађе тачка, која лежи у двема правим цртама, које су довољно продужене, ако таква тачка у опште може постојати (пресечна тачка); 4.) да се нађу две тачке, које леже у даној правој црти и у периФерији даног круга (пресечне тачке), ако такве тачке уопште могу постојати; и 5.) да се нађу две тачке, које деже на обимима двају кругова (пресечне тачке), ако такве тачке уопште могу постојати. Да решимо посдедња три задатка, довољно нам је и само наше око , док за решење првих