Просветни гласник

1048

1. Права линија аоклаиа се сама са собом у свима иоложајима. Под овим разумем, да права динија ири обртању површине нулте кривине важн Евкдидова, на површинама позитивне кривине Риманова, а на новршинама негативне кривине Лобачевокова геометрпја. _ Али овај идентитет геометрија на разним иовршинама исте стадне кривине није апсолутан: док се нпр. у Евклидовој равни из сваке тачке могу повући геодетске линије, ко.је су све квалитативно једнаке и свака се да продужити у бесконачност, дотле геодетске линије, које се на иовршини дилиндра из једне тачке дају повући, нису све квалитативпо једнаке (нма их три врсте: Евклидова права, Евклидова кружна линија и спиралне линије), нити се све дају продужити у бесконачност. С тога кад се цплиндрична површина развије у раван, она покрива само један ограничени део н>ен, и обрнуто само се једним ограниченим делом својим да раван развити на цилиндричну површину. Цилиндрична површипа реализира дакле само делимично (делимично и у квантитативном и у квалитативном смислу) геометрију Евклидове равви, а то исто важи и за све остале новршпне нулте кривине. На псти начвн дало би се показати и да ниједна од површина позитивне кривине осим кугле и ниједна од површина негативне кривине осим Лобачевскове равнине реализирају потпуно Риманову и Лобачевскову геометрију. С тога Евклпдова раван, површина кугле и Лобачевскова раван престављају тииичие површине у односу на одговарајуће геометрије, све остале- поврпшне имају се сматрати само као разни облици тих површина. Од површина негативне кривине, које у Евклидовом простору реализирају Лобачевскову геометрију, најважнија је тзв. исевдосфера. То је ротадиона површина, која ностаје кретањем криве линије зване трактрикс око своје ротадионе осовине ( фиг . Г; трактрикс је крива линија, код које је део тангенте од тачке додира до ротационе осовине — асиитоте — стална количина). Али псевдосФера није идентична са тиничном Лобачевсковом равни, јер 1) геодетске линије псевдосФере, које полазе нз једне тачке, не секу се само у њој, већ и у бссконачно много других тачака, 2) кроз две тачке псевдосФере иролазе бесконачно много геодетских линија,, док у равни Лобачевског пролази само једна; 3) геодетске линије псевдосоере прекидају се у сингуларним тачкама њеним, док таких прекида у Лобачевсковој равни нема, 4) полупречници кривине псевдосфере варирају од једне тачке до друге, што није случај код Лобачевскове равни (упор.. 6. Еесћа1аз, »ћПгоЗисИор а, 1а ^еоте^пе ^епегаЈе*, 1904. у стр. 53). Лобачевскова типична раван има да се замисли као раван, која је у свима правцима бесконачна и која није ни у коме правцу затвореиа док су све површине негативне кривине у Евклидовом тродимензионалном простору затворено-отворене површине, п могу ирема томе реализирати само један део Лобачевскове равни. Али не само да ниједна од површина негативне кривине у Евклидовом нростору није пдентична са типичном површином Лобачевсковом, него, као што је показао Хилберт (упор. I). НШзег!, »&гшм11а§еп <1ег беотеМе 4 . 44е АиП. 1913, стр. 232) и ниједиа од њих није без сингуларихета, т. ј. ниједна од њих не може се иотауно развити на типичну Лобачевскову раван. Ова посдедња је дакле као таква потпуно независна од Евклидовог простора, док се типичка површина Риманове геометрије (површина кугде) да конструисати у Евклидовом простору. Поред повриине кугле постоји међу тим још једна површина иозитивне кривине, тзв. елиптична раван, за коју важи Риманова геометрија. Та се површина међу тим раздикује од свих до сада поменутпх површина у томе, што је то површина која има само једиу страну, док су оне прве двостране. Док се на новршини кугле