Просветни гласник

ИАСТАВА И КУЛТУРА

1049

не мења своје место, ако пролази кроз две непокретне тачке у површини 4 . две геодетске линије (два највећа. круга) секу увек у двема тачкама, дотле геодетсве диније елиптичне новршине имају само једну тачку заједничку, и док права линија на површини кугле (и на свима раније иоменутим површинама) дели ту површину на два одвојена дела, дотле елиптична површина није једном правом линијом подељена на два одвојена дела. Ми се овде задовољавамо само овим иапоменама о особинама елиптичне равни, пошто би нас далеко одвело кад бисмо хтели о њој нарочито говорити. Од новијих дела о иеевклидовој геометрији треба споменути следећа: Н. ГЛећтап, »КкћЈеикНсНзсће ОеотеЈпе«, 8атт1ип§ 8сћиђег4, В(1. ХШХ, 2-4е АиИ. 1912; Ј. Јј . СооШ&е, »Тће е1егпеп18 о! поп —епсНДеап ^еоте1гу*, 1909; АУ КШт&. »Ет&ћгип^ т (Ие вгишПа^еп с1ег беотеМе* 2 ВДе, 1893 и 98; 1'. К1ејп »Шсћ4еикН(И8сће Оеоте^пе«, аи4о^гарМегке Уаг1езип^еп, 2 В(1е, 1893 (Клајн је' увео тзв. пројективни правац у неевклидову геометрију, који међу тим нема дубљег значаја; он је творад и елиптичне геометрије); Р. Вагћапп, »Еа ^от^пе поп еисНсНеппе«, 2 бте еЉ 8с1еп11а' Д« 15. 1907. Вољајев АррепсНх изложен је у преради у спису 8 Аћ8о1и1е 6еоте<;пе иасћ Ј. ВоЈуа!« од Ј. 1пзсћаи1-а, 1872. Историјски преглед иеепклидове геометрије даје В. Вопо1а »В1е шсћ(;еикН(118сће 6еоте4ие, ћ]81опзсћкишсће [)аг84с:11ип» 1ћгег Еи1-шске1и匿 ићегз. т. Н. 1ле1)таш1, 1908. На српском о невклидовој геометрији писали су: V. Уапсак, » Р гу 1 озшуаб1 пееикНДзке ^еоте1гјје® у »КаЛи ји^081ауепзке акас!ет1је* кпј. 169, 1907 н К. Стојановић »Припциии нове геомемрије« прештампано из »Наставника« (рађено у главном по Фришауфу). У следећем коментару преводилац је свуда навео изворе који су му иослужили за његово објашњење Добачевсковог текста. У тим се изворима често надазе само индиције за та објашњења. Преводилац је тежио да објашњења своја удесн тако, како ће и читалац, који има само елементарна знања из Математике, моћп разумети текст Лобачевскога. Само при крају коментара налазе се примедбе, које иретпостављају извесна знања Анализе (прим. 84 у вези са 64-ом, прим. 86, 87 и 88). Осим тога треба наиоменуги, да се тригонометријске Функције у Добачевсково.ј геометрији не могу дефинисати као односи страна у правоугдом троуглу (или као односи координата круга), пошто у Лобачевсковој равни нема сличних Фигура, већ да су њихове геометријске особипе изведене из њихових аналитичких деФипицпја (упор. прим. 88).

4 Ова деФиниција ираве линије ноклана се са појмом геодетске линије као линпје најкраћег растојања пзмеђу две тачке на површинама константне кривине. Доиста таква једна динија не мења свој положај у одговарајућој површини познтивне, иегативне или нулте кривине, ако се при томе површина обрће а остају ненокретие две тачке, кроз које тавва линија пролази. У »№еие АаГапдз^гип^е" § 25, стр. 99. деФинише Добачевски праву линију као линију »која се пзмеђу двс тачке покдапа у свима својим положајима«. Ова дефиеиција, кад се узме сасвии строго, стоји у сагласности само са појмом апсолутне праве у Евкдидовом смисл-у (види претходну примедбу), јер само ова последња преставља једну геодетску динију, чији положај остаје непромењен ма у који простор ставили површину која се обрће. ДоФиниција равни, коју даје Лобачевски у »Ј^еие АиЈип^з^гипДе« § 18, стр. 95, по којој је раван површина, у којој се секу две куглине п »вршине описаие истнм подупречником око две стадне тачке, преставља сдгси1из уМовиз, пошто егзистенција тродимензионадног простора, у коме су жугде, већ претпоставља егзистенцију равни. Ми смо у претходној и овој примедби — а то ћемо чинити и доцније равном површином назвади како Евклпдову типичну површину нудте кривине, тако и типичне иовршине Лобачевскове и Риманове геометрије. Према томе израз раван има у општој геометрији шире значење него у обичној Евкдидовој, где она озиачава само површину чије су све праве линије праве у апсолутном смислу. просввтни гласник , II књ., 11 св., 191-3. 71