Просветни гласник

НАСТАВА И КУЛТУРА

1147

^ + Х— 2 а и У, чијаје површина према томе (Ј = -^-(Х + У + 2 — п) — а — $ 4" \? 36 . Еад № опада опадају и површине троуглова а и тако да и -ј- $ — "№ може иостати мање од сваког датог броја. У троугду могу се стране 1 и т смањити такође до у бесконачност (21. став), према томе може се троугао д једном од својих страна 1 иди т иоложити на највећи круг кугле колико се хоће пута а да тиме половина кугле не буде испуњена, према томе (5 ишчезава у исто доба са V?; из чега следује да је нужним начином X -ј- У + 2 = тт 3 '. 29. У ираволинијском троуглу или се уиравне аодигнуте у срединама страна нс секу или се све трк секу у једној тачци. Претпоставиио да се у троуглу АВС ( фиг . 21) две управне ЕБ и БР, подигнуте на странама АВ и ВС у њиховим средишним тачкама Е и Г, секу у тачци Б, н повудимо у оквиру углова троуглових линије ВА, 1)В, ВС. У конгруентним је троуглима АБЕ и ВВЕ (10. став) АБ = ВБ, тако исто следује да је и ВБ = СБ; троугао АБС је према томе равнокрак и управна спуштена из темена Б на основицу АС пашће у њсну средишну тачку С. Доказ остаје исти и кад тачка пресека управних ЕБ и ГВ лежи у линији АС или кад пада ван троугла. У случају дакле кад се иретпостави, да се две од оних управних не секу, не може се ни трећа са њима еећи 38 .

36 У СФерном троуглу, чије су стране 1, ш и п, лежи наспрам страие 1 СФерни угао, који је раван нагнбном угду нзнеђу равни ВБС и АБС, чији је збир са нагпбним углом између равип СБВ'С и СБА раван п (пошто равни ВБС и СБВ'С' леже обе у равпи ВВ'СС'). Како је овај последњи нагибнн угао (впди претходну примедбу) раван л + 2/3 — — 2, то је први раван ж -|-'2 — 2/3. На исти начин је \гао, који одговара страни т, раван VX — 2 а. Ако се са с? означи површина тога СФерног троугла, биће по ставу 27-ом 8 = ( ж -Ј- 2 — 2/3 -)- V _ј_ х — 2а + + У- Ж ) = 1( Х+У+2-;г)-«- / 3 + О. ч 37 Што год будемо тачку Б више удаљавали од тачке В у правцу паралелизма, нагибни угао луци <1 и ч' као и луци 1 и т (одн. одговарајући СФерни троугли) постајаће све мањи, према томе при прелазу ка граници колитане V, 8, а и |3 по. с^аће равне нули, па ћемо имати — (х + У + 2 — тг) =0, одакле следује X + У + + 2 = тг. 38 У Евклидовој равни увек се управне на срединама страна (симетрале страна) троугдовпх секу у једној тачци. У Лобачевсковој равни то не мора да буде случај, и ту важи став: Симетрале страна троуглових или се секу у једној тачци или дивергирају или су иаралелне. (Упор. »Кеие Ап&п^в^гппсТе« §'111, з. 1821).