Просветни гласник

1148

просветни гласник

30. Уиравне аодигнуте у срединама страна ираволинијског троугла морају све три бити иаралелне, ако се иретиостави иаралелизам Двеју од њих. Нека су у троуглу АВС ( фиг . 22) линије 1)Е, Г6, НК управне на странама у њиховим средишним тачкама В, Е, Н. Ми ћемо најпре (у претноставити, да су управне БЕ и ј ) паралелне, које линију АВ секу у Е и М, и да се управна НК налази >Ј? између њих. У оквиру угла ВБЕ повуцимо произвољнд праву линију Е6, која ће морати ЕСт сећи негде у 0 ма како мали био угао оступања ОЕЕ (16. став). Пошто се у троуглу Е &М управна НК не може сећн са М6 (29. став) 39 , она мора сећи 1 ј(т негде у Р, одакле следује, да НК мора бити паралелна са БЕ (16. став) и М(т (18. и 25. став) 40 . Ако се стави страна ВС = 2а, АС = 21), А П 2с и углови суиротни овил странама означе са А, В, С, онда имамо у горњем елучају ^ Л : • // (1)) - II (с) В — II (а) — II (е) 1 С — П (а) + П ( ћ)

Важно је споменухд, да у с.лучају кад симетрале страиа троугдових дивергирају, све три симетраде имају једиу ирту заједиичку управну (упор. иримедбу 9-у), н Д а С У У томе сдучају темева троугдова подједиако удаљена од те заједиичке управне, другим речима да она леже на тако званој лшшји једнаког остојања, која је геометријско место свих тачака, које су подједнако удаљене од једне дате нраве (упор. Н. Бгеђтапп, ^ШсМеикИсНасће СгеотеШе* 24е АпД.р912, стр. 44). У својим списима спомиње Лобачев-ски само на једноме месту ту линију (уиор. „ТЈеђег сИе АпЈап^з^гипДс Дег беотеМе* § 24, 8. 34 и примедбу Енгелову на стр. 265), док се Вољај њоме служи за многа своја извођења (упор. »АррепсИх« § 27, § 32, § 39 и др.) Као што је на кугли линија једнаког остојања малн круг, дакле крива линија, тако је исто и линија једнаког остојања у Лобачевсковој равни крива линија. Линијама једнаког остојања одговарају у простору иовршине једнаког остојања , за које важи геометрија Лобачевскога (упор. Н. Глећтапп, н. н. м. стр. 59), т. ј. у троуглу, чије су стране липије једнаког остојања, збир углова мањи је од 2К. Напротив, као што је показао Боља] (в. Ј,Арреш11х << § 39), збир углова у троуглу у Бољај — Лобачев. сковој равни, чија је једна страна линија једнаког остојања, износи 2К, одакле се непосредно да закључити, да збир тих углова у троуглу те равни, чије су с.ве три стране праве линије, мора бити мањи од 2В, (умор. и V. Тапсак, »Рпа озшуабс пееикКДзке ^еоте^пје*, 1907, стр. 157 и д.). 39 Пошто је МСг део праве Рв, а Гв и БЕ као паралелне не секу се, то се ни НК не може по ставу 29-ом сећи са њима, према томе М6 и НК ке секу се. 40 НК мора бити паралелно са БЕ на основу друге Лобачевскове де®инидије паралелних линија (в. ирим. 10), а како су по претпоставци М& и БЕ паралелне међу собом, то је по ставу 25-ом НК паралелно и са М(Ј.