Просветни гласник

настава н култура

1149

о чему се дако увераваио помоћу линија АА', ВВ', СС', које су из тачака А, В, С повучене паралелло управпој НК и које су према томе паралелне и са друге две управне БЕ и Г6 (23. и 25. став). Нека су сада управне НК и Г6 међу собом паралелне, трећа управна БЕ тада их неће сећи (39. став), према томе она је или паралелна са н>има или сече АА'. Последња нретпоставка не значи друго до да је угао С > П (а) + ЈТ(1>). Смањи ли се овај угао тако да постане раван Л(а) П(1>), што ће бити ако се линији АС да нов положај С<3 ( фиг . 23), и дужина треће стране ВСЈ означи са 2 с', онда мора угао СВ(Ј у тачци В, ФИГ - 23 који је постао већи, према ономе што је горе доказано, бити П (а) - 2Г(с') >1 ј Г(а) — П( с), одакле следује с' > с (23. став). Али у троуглу АС(^ углови у А и (Ј су једнаки, према томе мора у троуглу АВ(^ угао код (Ј бити већи од угла у тачци А, према томе је АВ > В(^ (9. став); што значи да је с>с' 41 . 31. Граничном линијом (орициклом) називамо ону криву линију у равнини, код које су све уиравне иодигнуте у средишним тачкама тетива ме!ју собом иаралелне. У сагласностп са овом деФиницијом можемо нроизвођење граничне линије замислити на тај начин, што ћемо на датој правој АВ из једне од њених тачака А повлачити под разним угловима САВ = П( а) тетиве АС = 2а 42 ; крај С једне такве тетиве лежаће на граничној линији, чије тачке можемо постепено одредпти на тај начин. Управна ВЕ на тетиви АС у њено.ј средини Г) биће параледна са линијом АВ, коју ћемо назвати осовином граничне линије. Исго тако биће и свака друга управна

41 Кад би управна ВЕ секда АА'||6С' онда би нодноЈбна тачка њена О лежала ближе тачци А него тачди С (јер би угао БАА' у том слутају био мањи од угла наралелизма), ирема томе угао БСС 1 бко би угао паралелизма за линију већу од ђ, одакле следује да је угао С > П (ћ) + П (а). Ова иретпоставка међу тим доводи до резултата, ео коме је с'>> с, који стоји у притворености са резултатом но коме је с'•< е. Према томе не може ВЕ сећи АА\ мора дакле бити иаралелно са НК. Овај доказ Лобачевсков непотпун је међутим у толико у колико се може закл>учити ; да је с'■< с (што следу.је из 2с' •< 2с) само ако се цретдостави, да је АС>ВС, као што је упињено у фиг. 22 (ову је замерку Лобачевсковом доказу учинио још Гаус — види примедбу Еп^е1-ову у ^еотеитзсће АћћапсИип^еа еЈс.« на стр. 453). Ако је АС < ВС, ондаугао АС(Ј треба учинити равним П (а) + П (ћ) и С(Ј = СВ и даље доказивати као у тексту. Ако је пак АС = ВС, треба опет АС(Ј направпти равним П (а) + П (ћ), ССЈ = АС = ВС и доказивати даље као у тексту. 42 Конструкција тетиве 2а, која склапа дати угао са цравом АВ, не зиачи ништа друго до конструкцију управне а, која одговара датоме углу као угду па-