Просветни гласник

123

аукторитета, који је владао дотле у области ума и религије, оборен је, а место њега дошла скепса и индивидуална мисао. Место умног мртвила настао је живот, место умне тираније дошла је слобода. Ресултат социјалне и иолитичке борбе био је — постанак моћи трећега сталежа, буржоазије; ресултат религиозне борбе био је индивидуална слобода мисли и протестантизам. (НАСТАВИЋЕ СЕ)

ПРОСТ ДОКАЗ ЈЕДНЕ ПРОЈЕКТИВНО-ГЕОМЕТРИЈСКЕ ТЕОРЕМЕ од Стевана Давидовића. С гледишта пројективне геометрије очевидна је теорема, да су ортогоналне иројекције равних иресека, ираве кружне куие на једној ра,вни, која је уиравна ирема куииној осовини, конфокалне линије другога реда којима је пројекција куииног темена заједничка жижа.*) О овој теореми има и један елементаран, али врло опширан доказ, који је у Аналима ц. кр. академије наука у Бечу публиковао покојни др. РудолФ Њемчик, бивши проФесор политехничке школе у Бечу. Један тако исто елементаран, али много простији доказ исте теореме саопштио сам ја у стручном школском листу „ХеИвсћгШ, 1пг <1а8 ]{еа1вс1 ш!хуезеп", у свесци за Април прошле год. Надајући се да ће овај доказ интересовати и нашу математичку публику, ја га и овим путем износим на јавност. Разликоваћемо 3 случаја: кад је пресек елипса, парабола, или хипербола. I. случај. Нека је купин пресек елииса. На сл. 1. нацртане су пројекције праве кружне купе, која је пресечена равњу Ра Р,. Претпоставићемо раван, управну према вертикалној пројекционој равни, јер би се и свака друга раван, трансФормацијом пројекционих равни, могла довести у такав положај. Вертикална је пројекција купиног пресека дуж а'ћ', а хоризонтална је пројекција елипса аћс<1, чија је велика осовина аћ. Мала осовина ове елипсе одређује се, кад се кроз *) Кг. Л\ Ј1ћс1т 1"Је«11ег: Ој е (1ате11еп(1е ОеотеМе е!с. стр. 231,

елипсино средиште 0 0' повуче помоћна, хоризонтална раван ; пресек ове равни с куном биће круг, чија хоризонтална про-

Сдика 1. јекција К пролази кроз крајне тачке мале осовине сс1. Да бисмо показали, да је тачка 8 жижа елипсе аћсс1, треба само доказати, да је аћ 8С = у. Како је 8с полуиречник круга К, то је тп т'п'

Ну како из подударности троуглова а'и'т' и ћп 1 !' следује, да је и'т' = м'1', то је и т'п = иЧ', дакле и и'1' аћ 80 = Т = Т' II. случај. Нека је купин пресек иарабола. (Сл. 2.). Да бисмо за овај случај доказали, да је 8 жижа хоризонталне пројекције купиног пресека, пренесимо от = 08, и повуцимо кроз тачку т праву Б Ј_ аћ. Једна произвољна тачка параболина, на пр. с. с', налази се, кад се и купа и раван Ра Р, пресеку једном номоћном, хоризонталном равни ; ова ра-