Просветни гласник

247

праве дужине периФерије и дужине ректиФиковане 3 ТЈ мања °Дуо(Гооо п Р ечника - ** ак0 С У овакве приближне консгрукције по себи врло интересне, ипак су мање важне за историју квадратуре круга; јер не могу дати веће тачности у израчунавању кружном, но што је постпгао Лјдолф са 35 децимала, нити су подобне да, ма на који начин, реше питање, да лп је могућна тачна квадратура шестаром и врстаром. Битно је унапређена нумерична квадратура новпјим методима од Ћего1оп- а п Хегбда^-а, које су обично познате под именом диФеренцијалног и интегралног рачунања. Око подовине XVII. нека, пре но што су Ке^оп и БеЉпЉ изразили број п степенпм редовпма, успели су инглескиматематичари ТУатз и Богд, ЂгоипсТсег, да представе број п правилним путем, помоћу једнога реда од бесконачно многих бројева, који су међу собом везани са основне четири врсте рачунања. "УУаШз је нашао, да се четвртина броја п у толико тачније добива овим производом: -|х-|хт 4 хјх4х^х-|хи т. д„ у колико се више продужује множење, и да је резултат увек нешто мањи, кад се прекида правим разломком, а нешто је већи, кад се рачунање свршава неправим разломком. 1 /0гс1 Вгоипскег пак узео је исти број као верижан разломак, у коме су сви именитељи број 2, а бројитељи су му непарни квадратни бројеви. Кад је Вгоипкег свој елегантни резултат, без доказа, саоиштио ^аШз-у, онда је овај доказао његову тачност у својој »Аритметпци бесконачности." Ну п ови резултати не могоше више унапредити израчунавање броја п, но што су то учпнили 1/ис1о1рћ и други, само, разуме се, труднијпм радом. Међутим су КеЋ^оп и ВеЉпНг, изводећи потенцијске редове помоћу диФеренцијалног рачунања, показали начпн, како се број п може израчунати на стотине децимала. (јгедогу, 1 \ т е\\ г (хл1 и Бе1ћш1;2 нађоше, да је * — 1 _„Ч Ј_ Л 1 5 7 ' 9 11 I 13 ако се овај Л.ајбницов ред непрестано продужује. Истина, да је овај ред врло прост, али није згодан за израчунавање броја п, просто зато, што се мора узетп у обзир и сувише много чданова, па да се добије п и на неколико децимала тачно. Ну из онога истог извора, из кога је потекао Дајбницов ред, имамо и других редова, који су врдо подесни за тачније израчунавање броја л- Тај извор је општи ред:

«5 п5 о 7 « = а— з~ + ^~ 7-+ > 1'Де је « дужина лука, којп у кругу, са полупречником равним јединицн, одговара произвољном средншном углу, а тангента тога угла је а. Одавде пзлази: Ј =(а -И +с+....)-Ч (а 3 + 1> 3 + с 1 +...) + ^( а5 + ћ 5 + с 5 + . . .) - . . ., где су а, ћ, с . . тангенте углова, чији је збир 45°. Одредимо ли вредност за а, ћ, с . . ., да буду малн и подесни разломцп и да испуњују поменуту иогодбу, добивамо редове подесне за израчунавање броја п. Првп, који је оваквим редовима продужио израчунавање п на више од познатих 35 децимала, беше енглески рачунџија АЂгаћат ЗНагр, којп је око 1700. год, по упуту НаИеу-а, израчунао п на 72 децпмале. Ускоро за тим пзрачунао је Масћгп, проФесор астрономнје у Лондону, број п на 100 децимада, узевши у горњем реду а = ћ = с = с1 = -^ и е = — т. ј. он је употребио овај ред: ^ + ^ А -ч- . ]4 ' [5 3.5 3 ^ 5.5 5 7.7' ^ " ' 1 _ ј - . 239 3.239 3 ^ 5.239 5 МасМи-ово рачунање надмашио је 1819. год. Т^адпу у Нарнзу, јер је, на два разна начина, израчунао п на 127 децимала. Уеда је продужио рад до 140 децимала; а хамбуршки рачунџија Засћаггаз Вазе на 200 децимада помоћу реда, који се добива, кад се у општем реду ставп а = 1) = 4 с Најпосде се у најновије доба дотерало у израчунавању броја л и до 500 децимала; али све то више може сдужити као илусграција доброте п поузданости новијнх метода према старијпма; иначе немају нп теоретичне ни практичне вредности. Да споменемо још на овом месту и чудновату методу проФесора У7оЦ'-з. из Цириха, коју је он нре некодико деценија употребио, да израчуна п на три десетна места. Он је претиоставио, да је неки под подељен у саме једнаке квадратиће, па је на њ бацио иглу, чпја је дужина равна страни једног квадрата. Тражећи вероватноћу, да игла лежп сасвпм у неком нољу а да не сече нн једне параледне стране, нашао је, да је вероватноћа тачно п — 3. Према томе, но закону великих бројева, добиди бисмо приближно број л, кад бисмо непре32 *