Просветни гласник

авећ-ова

теорема

функције, како би славни збор уједно исто време видео и огромно пространство Ађе1-овог става и иознао, бар у неколико, моћни апарат инФипитезималног рачуна. Ја отпочињем прво примену овог става иа наједементарпије трансцендентне кружне Фупкције (8шиз, Созтиа, Тап§епз, ...) Господо, вама је, мислим, познат основни став тригонометрије, по коме је 8111118 збира делова једног лука једнак збиру производа из 8ншв-а и Созшиз-а појединих дучних делова, или, ово исказато Формулом, мисдим да вам је познат фундаментадни тригонометријски образац 1) 8111 (и+т) = 8111 и Соз т + 8ш т Соз и, где и, т значе два дела једног кружног лука. Ето тај став, исказат Формулом 1), а у Тригонометрији изведен на елементаран начин много пре открића Аће1-овог става, ја ћу да изведем тим Аће1-овим ставом. ДиФеренцијална једначина

(Јх

<1У

|/1—х 2 |/1 — у*

јесте тотални диФеренцијал. Ако је умножимо лево и десно са једним од њој одговарајућих интегралних чинилаца, и то са овим 1/1—х 2 ]/1—у 2 — ху, излази У<*У

V V I

1 — у 2 с1х — х

<1у — У

1/1—У хс1х

1/1-

т}=0.

илп

<1 (х Ј/1—у 2 ) + (1 (у ]/1—х 2 ) = 0, одакле интеграљењем 3) х уТ-

+ У |/1— х 2 = С,

где је С тако звана произвољна стална количина. Из једначине 2) види се да су х и у Функције једно од другога. То исто важи за номенуте количине и у једначини 3): ми можемо дакле произвољну сталну количпну тако одредити, да за х=о у буде једнако произвољно сталној количини С, коју тако одређену можемо означити писменом' г. На тај начин наш израз 3) прелази у

4) х у 1—у 2 + у У 1 х 2 = 2. Из последњег изразавидисе да јеинтеграл горње диФеренцијалне једначине, или још боље и што

потпуно стоји у складу са Аће1-овом теоремом, сума горња два интеграла јодиа алгебарска фјнкција; логарптамске Функције овде нема: јер круг нема оних изванредних тачака, које се у Математици зову логаритамски сингуларне. С друге стране, ако једначину 2) непосредно интегралимо под истом прегпоставком, да за х=о буде у =2, излази Г)1 Дх п а у г 2 Ј ]/1—х 2 Ј 0 ]/ 1 -у 2 Ј оУ 1 -2 2 Међутим, сваки појединп интеграл у изразу 5) није ништа друго до кружни лук, коме је 8нш8 променљпва у изразу иод интелралним знаком, што се овако означава: Г х 4х в) Ј ,7СТ = :

у (1т

агс 81п х = и,

1/1-у 2 ' С12 1 /1-7 2

аГС 8111 у

V/.

= агс 81П 2 = УГ.

Ако дакле место интеграла у 5) ставимо луке којима су једнаки, излази 7) и + т = •№. Претпоставимо сад да су луци представљени горњим алгебарским интегралима, променљпве количине, а зтиз и созшиз њпхове Функције, онда је из израза под 6), под претпоставком да су луцп и, т, № једног п истог круга описатог полупречннком јединицом: / х=8ш и, |/1—х 2 =соз и, у=вт т, (|/1— У 2 =С03Т, 2 = 81п АУ , |/ 1 — 2 2 = С08№. Из иоследњег израза под 6) и израза под 7) излази 9) 2 == 8111 лт = зт (и+т). Даље, на основу 4) г је алгебарска Функција количина х, |/ 1—у 2 , у и |/х—х 2 , што све у вези са 8) и 9) даје 10) 8ш (и + т) = Зш и Соз т 8т т Сок и. Као што се види , помоћу А1зе1-ове теореме: збиром алгебарских интеграла, који представљају разне делове кружног лука, извели смо основни став Тригонометрије. На сасвим исти начин лако се изводе и Формуле за остале тригонометријске Функције: Созтиз,