Просветни гласник

НАУКА И НАСТАВА

Тап§еп8, Со^апдепз... збира лукова помоћу А1)е1-ове теореме. Исто то важи и за друге елементарае трансдендентнеФункције: догаритме п изложидачнеФункције. Логаритам за основу е може се изразитн адгебарскпм интеградом облика Г (1х_ Ј х ' инверзијом логаритма добива се изложилачна Фупкција е х . Основне адиционе особине ових Функција дако је наћи онет иомоћу Ађе1-ове теореме. Исту особину коју има збир интеграда, од којих нам сваки појединце представља кружни дук, има и збир адгебарских интеграда, од којих нам сваки појединце иредставља дук једне диније зване Л.емнискате; збир таквпх демнискатиних иитеграда даје један адгебарски однос између горњих граница поменутих интеграда. Сваки од споменутих демнискатиних интеграда представља трансцендентну функцију више врсте, предазећи већ у род првих едиптичних трансцендената. Адициону особину демнискатинпх интеграла опазно је први, у почетку прошдога века, тадијанскп математичар Га§папо 3 ); откриће аегово историјски је врдо важно, јер је оно бидо најнепосредпијп повод стварању једне, за онда, нове математичне дисциплине: Теорије елиитичних функција. Одмах заоткрићем Га§папо-вим следовада је Еи1ег-ова адициона теорема едиптичних интеграла 4 ) која обухвата адиционе особине и кружних и лемнискатиних интеграла. Из Га§папо-вог открића и Еп1ег-ове адиционе теореме створио је Француски математичар Ее§епс1ге теорију едиптичних Функција. Еп1ег-ова адициона теорема јесте основна идеја теорији едиптичних Функција; она је уједно исто време и кулминациона тачка Математике до откријћа Ађе1-ова става. Јер цела теорпја елиптичних Функција у основи и није ништа друго до даљи развој Еа1ег-ове адиционе теореме. Ова адициона теорема, једна од најдрагоценијих тековина, којом је сидан математички ум Еи1ег-ов обогатио Математику, може се извести на три начина: а) Еи1ег-овом методом, ћ) 81;игт-овим начином и с) елегантном Еа§гап(1еовом методом. Међутим, сва три извођења спадају већ у историју. И Еп1ег-ова адициона теорема, као и све остаде теореме о адицији трансценданата у опште, само су специјални случајевп Аће1-ове адиционе теореме алгебарских интеграла. —

3 ) Ра^папо (1е Радпаш. Ме4о(1о рег тјаигаге 1а 1етш8са1а. 61огпа1е (1е 1е11ега11 сГ 11аНа 1718.

*) Еи1ег, 1пб4Ии(:10пе8 са1сиН 1п4е^гаИ8. 1 8ес1. 2, Сар. б.

Наједегантнпја примена Аће1-ове теореме јесте извођење адиционе теореме елиптичних интеграда. С тога ћу овде да покажем ту његову наједегантнију примену. Ево ја ћу сам да склопим суму елиптичних диФереннијала т. ј. нотребну ми диФеренцијадну једначину на овај начин: Претпоставимо да је једна алгебарска Функција Ј дефинисана алгебарском једначином оваквог облпка 1) {*—К (г) = 0 где је К (г) полином 4 Г или З г степена по 2. Придајмо једначини 1) једну опет алгебарску једначину будп каквог стеиена но коју ћу у опште означити са 21 хр (2, ј;) = о. • Помоћу једначине 1), а множењем дево и десно са различним степенима алгебарске кодичине 1' можемо други и све више степене њене просто избацити из 2), н свести ову једначину на облик 3) 8 { — г = 0 где су 8 и г ма какве рационадне Функције само променљиве 2. Замислимо ту просту операцију извршену, па имамо пред собом један систем симултаних адгебарских једиачина 1) Р - К (2) = 0 3) — г = 0. Резудтанта ових двеју једначина налази се на врдо дак начин. Израчунајмо адгебарску Функцију 1' из 3), и снимимо ју у 1) том нађеном вредности; ако још дево и десно умножпмо са 8 2 и означимо резудтанту са Д (г) биће 4) Д (г) = г 1 — 8 2 К (г) = 0. Ова резултанта има најпресуднију улогу при скдапању потребне нам диФеренцијадне једначине. Сваком корену те резултантне једначине Д (2) = 0 одговарајућа вредност адгебарске Функције 1' налази се помоћу једначпне 3), кад се она реши по 1', дакле 5) Г = ' 8 где су г и 8, као што поменусмо, рационалне Функције променљиве 2. Нека су сад степени рационалних Функција г и 8 по 2 редом т и т—2, онда је степен резултанте по 2 2т; нека су 2т корена једначине Д (2) = 0 ови