Просветни гласник

авек-ова теорема

2 И *"1.Ч 2 2т' Ако свих 2т корена сматрамо као иромепљиве количине, и диФерендијалимо резултанту тотално како по непознатој 2, тако исто по сачиниоцима те једначине, добићемо, означив диФеренцијаљење ио сачиниоцима са д, ово: 2г (Јг — 28 К (х) <Јз + Д' (г) Ах = 0 Из исте једначине г 2 —з 2 К (/) = 0 излази, кад пзвучемо корен и решимо је прво по г затим по з: г=8 1/тц5); « = рт^ Заменом тпх вредности у горњу диФеренцијалну једначину добива се , г.Е(г) 2з у I; (г) д г — 2 ј -, ()з -|- Д' (2) (12 = 0, или 2 з[/ К (2) б г — 2 г \/ К (2) (5з Д' (2) (1г = 0, одатле 2 |/к (2) ј з д г — г д з | = — Д' (2) (12, и нијпосле деобом лево и десно прво са Г /К (2), затим са Д' (2) излази (1г г^з — 3(Јг 2 = А' (2) Ми смо претпоставили да је г по 2 стенепа ш, а 8 по истој променљивој степена т — 2; Д (2) је степена 2т. С тога је г д з степена т -)- т — 2 = = 2т — 2. Јер, 8 је диФеренцијал посачиниоцима, те по томе операција д, дпФеренцијаљења нема утицаја на смањивање степена по 2; исто тако и из истих разлога степен другога члана з д г биће 2т—2. Дакле степен бројптеља јесте 2т — 2 по 2. Даље, пошто је Д' (2) први извод резултанте по 2, то је степен количине Д' (2) за 1 мањи од степена резултанте, дакле 2т — 1. Ако сад у горњем изразу на место 2 ставимо редом корене једначине Д (2) = 0, и саберемо добивене једнообразне изразе, добивамо М _/=% т хд 8 -вдт 1=1 V К(21) 1=1 А' И ' Иошто је на десној страни степен бројиоца мањп од степена имениоца Д' (21), то је деспа страна на основу теориЈе о разлагању разломљених рационалних изразаа у делимичне разломке једнака нули. На тај начин добивамо 7) I .= о. I/ К (21)

и то је та за нас важна диФеренцијална једначина, чпјим интеграљењем добивамо суму алгебарских интеграда једног и истог рода. Нека је сад у једначини 3) т = 2, т. ј. нека је рационални израз г по г степена 2. У том је случају најопштпјп облик израза г овај г а 0 2 - —|— а^2 —|— а 4 , но пошто је степен израза з, по претпоставци, 111 — 2, то је за овај специјални случај з= 1. Из тога пзлази да ће наша резултантна једначина Г" — З 2 К (2) = 0 добиТи овакав облик: 8) (а 0 2 2 + а, 2 + а,) 2 + К (2) = 0. Ова једначина је 110*2 4" степена; нека су према томе 4 корена те једначине 8о) 2 2 , 2 3 , 2 4 , њима одговарајуће вредности алгебарске Функције 1 из придате једначине нека су редом Ј ј , Ј 4 , или по 1) 8„) К(2Ј, К(2 2 ), К(2з),К(2 4 ) онда. наша диФеренцијална једначина 7) прелази У ову Љј <Ј.2 2 с!2 3 <12 4 9) 1/Ш + 1/к од+ + \7Ш) = °" Један особени интеграл ове диФеренцпјалне једначине добићемо на овај начин: ставимо у 8), пошто извучемо квадратни корен, редом 4 пара њених корена | 2„ Ј/К (г,); 2,, Ј/К (г. 2 ); 2 3 ; |/К (г 3 ), 2 4 ,[/К (2 4 )|, па добивамо систем од 4 линеарне хомогене једначине а о 2 1 2 Ч - а 1 2 1 + а 1 Н~ 1/К (^1) — 0 а 0 2 2 2 + а 1 2 2 ( 2 г) = 0 10) " х ' а 0 2 3 2 4~ а 1 2 з + а з ~1~ ( 2 з) 0 а 0 2 4 2 + а 1 2 4 + а 4 + (2 4 ) = 0 Као што се види, овај систем једначина јесте линеаран и хомоген по количинама а 0 , а 2 , 1, ми их дакле можемо једниммахом све елиминисати. Резултат елиминације биће ова детерминанта: