Просветни гласник

НАУКА И ПАСТАВА

11)

V 2, 11/к (гЈ г 2 2 г 2 1 |/К (г 2 ) 2 3 2 2 3 1 ]/К (2 3 ) 2 4 2 2 4 1 1/К (2 4 )

12)

(12,

|/К(2,) + 1/н (2 2 )^ |/К (2 3 )

(12.,

(12,

За ову ДИФ. једначину као и за 9), 11) је један партикуларан интеград. Узмимо садједан елиптични интегра! Ке§еп(1геовог облика

- Л

(12

I/ 2 (1—2) (1 —к 2 г)' У том случају наша алгебарска Функцпја { биће 1 = К (2) 2 (1 —2) (1 —к' 2 г), те с тога је један корен једначине Р—К (2) = 0 или Ј = ]/ К (2) = 0, нуда. Ставимо дакле 2 4 = 0, па издази из 11), кад се ова развије по едементима последље врсте, субдетермпнанта 1/142,) 1/&К) 1/вод излази

13)

одакде деобом са Ј/ г 2 2

1/2,

]/К (2,)

14)

]АГ

2 2 ]/г 2

Ј/К (2 2 )

Vч

2 3 ]/2 3

]/К~(Гјј

Ова једначина јесте један интеград диФеренцијадне једначине 9); и то је оно важно решење те диФеренцијадне једначине које се појављује у А1>е1овом ставу као адгебарска Функција. Детерминантом 11) кад се развије по едементима ма кога рода, може се један пар корена под 8 0 ), нпр. 2 и |/К(г,) изразити рационадно остадим трима, т. ј. може се изразити овим паровима корена г 2 , ]/К (г 2 ); 2 3 , |/К (г 4 ). Јер 2, није ништа друго већ корен биквадратне једначнне 8), чија су три друга корена г 2 , 2 3 , 2 4 . Сачиниоци те једначине, на основу познатог односа између корена и сачинидаца једначине биће рационадне Функцпје парова 2 2 , |/К (2 2 ), 2 3 , Ј/К(г 3 ); 2 4 , [/'/{ (гЈ. Ставимо г 4 једнако једној произвољној стадној кодичини, што се у снецијадним сдучајевима може увек чинитн, па ће наша диФеренцијална једнаначина 9) прећи у

= 0.

Из 14) на лак начин сдедују изрази за Ј/г,, 1/1^7, |/1 — к 2 2 4 :

1/2, = - 1/2 2 ]/(1 -2.,) (1 —к 2 2 3 ) —ј+ |/ 2 3 ]/(1-2,) (1 - к 2 2 3 )

15)

1—к 2 2 2 2 3

V1 —2, = V1—2 Ж |/1-2 3 V 2-2 Ч V (1—к' 2 2.,> (1—к 2 2 3 ). 1-

-к 2 2 2 2 3

1/1 - к 2 2,

:1/1-

к 2 2 2 1/1

к 2 2,

к 2 V 22 2 3

]/■ (1—2 2 ) (1—2 3

1 — к 2 2 2 2 3 Као што се види из конструкције ова три израза под 15), један пар корена., 2,, ]/К (2,), резудтанте Д (2) = 0, у истинн је представљен као рационадна Функција осталих двају парова: г 2 , 1 /К (г 2 ); 2 3 , ]/К (2 3 ) Јер нама је потребно само дићн на квадрат први израз под 15) па да добијемо 2, изражено рационално помоћу друга два пара. Даље, треба умножити два посдедња израза, под 15) међу собом па добпти ]/ К(г,) изражено рационадно помоћу друга два пара. То све издази из оног адгебарског решења 13) диФеренцијалне једначине 12). Трансцендентно решење те једначине добићемо следећим начином: Ставимо

16)

2 = 8111 <р, па Је (1 .2= 2 8ш <р соз ср (1 <р.

Извршимо замену у Ке§еп(1ге-овом едиптичном диФеренцијалу, иа издази, испустив из вида нумерични сачинилац 2, ово:

Аср

|/1—к 2 зш 2

, где је 0 < к < 1.

Наша диФеренцијална једначина 12) добива за 2„ г 2 , 2 3 овај обдик:

]/1—к 2 8ш 2 У1 + ]/1-к 2 8ш 2 д) 2 ' V 1—№т'<р 3 Интегралимо је под претпоставком да језа <р н — 0, <р 2 =ср„ па издази

&<р 2

б.ср 3

]/1 —к 2 81П