Просветни гласник
40
АВЕЛ11-ОВА ТЕОРЕМА
г _ _ Ј ]/1— к 2 81П 2 у 3
+/'
А<р 2
(/1—к 2 81Пу 2
ф, /,
с1 Уј
|Х1—к^ш 2 ^.
Означимо сва три интеграла краткоће ради са и 3 , п г , и, па имамо из 16) 17) и 3 -(- и 2 = и, Горље границе интеграла под 16) зову се по ЈасоМ-у ампдитуде и означују се са </> 3 = атп 3 , ср п = ати 2 , — ати, Гониометријске Функције ових амплитуда, даклс 8ш ати, соз ати,...... којима се придаје и једна особена Функција \/\— к 2 81п 2 у = Д ати, зову се елиатичне функције. Оне <тоје са елиптичним интегралима, из којих су изведене, у истом односу као и гониометријеке Функције 8т и Сози према инверзнпм Функцијама агсбт г и агсСоз г. Ако сад количине у изразима под 15) заменимо њиховим вредностима израженим Функцијама амплитуда, добићемо 81п ати, = 8111 ат (и 2 -(- и 3 ) = — 8ш ати 2 соз ати 3 Д апт 3 + + 81п ати 3 соз ати 2 Д ати 2
1 — к 2 8ш 2 ат и 2 81п 2 ат и 3 С08 ат и, = соз ат (и 2 -ј- и 3 ) = = со8 ати 2 со8 ати 3 81п ати 2 8111 ати 3 Д ати , Д ати, 1 — к 2
81П
18)
Д ати, = Д ат (и 2 + и 3 ) = = Д ати 2 Д ати 3 — к' 2 8Ј п ати 2 8111 ати 3 соз ати 2 сов ати 3 1 — к 2 81и 2 ати, 81П 2 ати,
У овим изразима под 18) исказате су основне адиционе особине елиптичних Функција. Господо, као што севиди из два наведенаслучаја, алгебарско решење диФеренцијалне једначине у вези са транцендентним решељем њеним, даје основне адиционе особине кружних и елиптичних фунција. Исто то важи и за најоцштије алгебарске
интеграле, где је нужно образовати суму од најмање 4 интеграла. Да бисте увидели огромно пространство Аће1ова става, напомињем да појам алгебарских интеграла обухвата: најопштпје алгебарске, хиперелиптичне, елиптичне интеграле, циклометријске Функције и логаритамску Функцију. И ове последње две врсте Функција могу се као што смо впдели представити алгебарским иетегралима. Из свију помепутих алгебарских интеграла постају ипверзијом: Ађе1-ове, хиперелиптичне, елиптичне, кружне и изложилачне Функције. АђеГова теорема открива заједничку особину свију поменутих алгебарских интеграла и из њих инверзним проблемом створених I трапепендеитних Функција. АМ-ов је став дакле та уз, која везује у једну целину с једне стране све алгебарске интеграле, а с друге све Функције које инверзијом произлазе из тих интеграла, и ту је, по мом мишљењу, у ЈасоМ-евој оцени исказана та најпространија математпчна мисао. Ред је да покажемо где је најдубља мисаоиска' зана Аће1-овим ставом. Господо, Француски математичар 1лопуП1е доаазао је да се један општи алгебарски интеграл, засебно узет, не може представпти знацима обичне, ниже Алгебре. Али, и ако један алгебарски интеграл, појединце сматран, спада у област виших математичних трансцендената ипак сума довољног броја ових траиецендената на основу Аће1-ова става може се изразити знацпма најобичније Алгебре. И ту лежи додирна тачка између впше и ниже Математике; ту, у. тој додирној тачки пзмеђу впше и нпже најобичније Математике лежи, по мојем мишљењу, та најдубља мисао исказана Ађе1-овом теоремом. Ако се узме на ум, да свака наука тежи томе да но општим особинама Факата који сачињавају њезину садржпну, ове, т. ј. Факте, генералише, то и са тога гледишта Аће1-ово откриће јесте од неоцењиве вредности за Математику. Томе циљу Математика мора тпм пре да тежи, јер се њена садржина развила до недогредних размера. Аће1-ова теорема је дакле и један став који генералише огромну масу Факата у Математици; она се провлачи као црвенп конац кроз силан број математичнпх спекулација, спајајући их међу собом у једну органску целину, почев од најнижих делова ниже, до највиших региона више Математике. Начело перманентности у Математици, по коме се сваки нов математични појам субсумира и мора субсумирати већ усвојеним математичним законпма — одоздо, и Аће1-ова теорема из највиших делова Математике, где се Функције појављују као резултат интеграљења диФеренцијалних једначина —