Просветни гласник

АБЕк-ВА ТЕОРЕМА

643

освову обрасда 20.), не може постојатп; јер су сљества тога обрасца такве, да А1)е1-ов интеграл. З г рода има логаритамски сингуларнпх тачака: или нула на број, или више од једне, а никако само једну. — Нека су дакле с : и с 2 те две чисто логаритамски сингуларне тачке, онда ћемо моћи сваки ел.ементаран интетеграл З г , рода Јз р . у околинп тих тачака, односно у околини тачака у 1? у г , — преставити у облику

22.)

Ј' 3р - + С 1 О 8 . (?-/,) + Е (П Ј' 3р =-С1о § . (С-г 2 ) + Е (П,

где се знак минус тиче логарптамског сачинитеља С, пошто, на основу једначине 20.), сума таква, два сачинитења мора бнти нула. Вредно је још напоменути, да је општи Аће1-ов интеграл редовно.интеград 3-ег рода. 9. АШ-ов интеграл дуж једне отворенс линије Вредност Аће1-ова пнтеграла у околини једне тачке Шетапп-овг свере, иа била та тачка обична или сингуларна [пол, логаритамски-поларна, или чисто логаритамски сингуларна] — престављена је аналитичкп редом 7.). Сад нам је потребно наћи вредност Аће1-ова интеграла дуж једне непрекидне диније, али која се не враћа у саму себе. Означимо А1зе1-ов пнтеграл дуж једне отворене линије 2 0 2 у ВЈетапп-овој свери са

Ј( 2 >

јСЈ =Ј ф) = Ј <р( г ) 2„ 1

Љ.

Јасно је, да вредност једног таквог интеграла, у једном делу ВЈетапп-ове свере, где се не налази ни једна сингуларна тачка, — јесте једнозначна функци.а своје горње границе. Према томе, Ађе1-ов интеграл у поменутом делу површинском, а у најближој околнни тачке 2, може се, као неирекпдна и једнозначна Функција места, развити у ред по растућим степенима разлике (г—с), односно (Ј— у). Али такав један Ађе1-ов интеграл понаша се са свим друкчије кад његов интегрални пут зађе у најбижу околину какве сингуларне тачке у Вјетаии-овој свери. Замислимо да интегрални пут одводн горњу границу Л1)е1-ова интеграла

/I Ј срт, с1г

у околину сингуларне тачке с, и то, нека ироменљива тачка 2 иде од 2 0 дуж линије 1 0 прво у с 0 ,

сл. 7.

затим нека из с 0 , која се налази у околини тачке с, дође у 2 дуж линије 1 0 , [сл. 7.]. Вредност горњег пнтеграла у тачци 2 биће онда 2 23.) Ј у(г) (12 = Ј<р(г) с1г + Јф(г)Аг. 2« 1 0 1 Па пошто је с 0 стална тачка, то ће први иитеграл десно. уопштеузев, имати сталну вредност за једну и исту линију 1 0 ; озиачимо ту вредпост са С 0 . Вредност другог интеграла зависи од променљнве тачке 2 као од горње границе; означимо интеграл 2 Јф) (12 = ЈФ) <12 = Ј (2) — Ј (С 0 )

са

[Ј]с„

па је вредност ннтеграла 23.) престављена у облику

24) Г ф) С 12 = С 0 + [Ј]"\Ј Вредност интеграла [Ј] можесеиреставитиобрасЧ) цем 7.); али вредност ироизвољне сталне количине С 0 стоји у апсолутној завпсности од пута 1 0 . 0 тога је општи АЂе1-ов интеграл, ирема ирироди самог интегралног иута 1 0 , бесконачно многозначна функција горње границе 2. Вади ближег оријентисања односно вредности произвољне сталне количпне, важи ово што настаје: ако пут 1 0 окружује сингуланну тачку (сл. 8.) пре