Просветни гласник

1152

пр0све1ни гласник

Да бисмо ово доказади претпоставимо, да је однос дука з према дуку 8' раван односу два дела броја п и т. Између осовина АА', ВВ' повуцимо трећу осовину СС', која ће на тај начин одсецати од дука АВ део АС = 4 и од дука А'В' на истој страни део А'С' == 1'. Нека је однос између 1 и 8 раван односу два цеда броја р и д, тако да је п , , р 8 = 8, 4 = — 8 Ш Ц Подедимо сада 8 осовинама у једнаких дедова тако да ће таквих дедова бити ппј на з и пр на 1. Како ови једнаки дедови на 8 и I одговарају тако исто једнаким дедовима на 8' и 1' имамо 46 1; 8 Ма где дакле узеди дуке 1 и 1' између осовина АА' и ВВ', увек ће њихов однос остати исти, докде год остојање њихово х остаје исто. Ако се с тога за х = 1 стави з = ез' онда ће за свако х морати бити з' = 8е -х Пошто је е непознат број а поддежи само усдову е>1 и пошто се даље јединица дужине за х може узети произвољно, то је можемо ради рачунског упрошћавања тако изабрати, да се под е разуме основа Неперових догаритама 41 . Још се овде може приметити, да је за х = оо, з' = о, према томе не само што се смањује остојање између две парадедне (24. став), 46 У »№епе Аићп&а^гипДе* § 117, стр. 189—190 простији је доказ става, да *е однос лукова двеј-у граничних линија константан за исто остојањс тих линија. Або лук в поделимо у пц једааких делова, од којих ће пр дежати на делимичиом луку (; (иошто је по претпоставци 8 : 1: = ц: р), па из одговорајућих тачава повучемо осовиие и продужимо их до а', онда ће оне поделити и луке з' и 4' на и пр једнаких делова (само што у овом случају ови делови неће бити једнаки са одговарајућим деловима иа луку а), одакле непосредно следуједаје Л 47 Једначина в' = зе ~ х (или 8 = з'е х ), да се овако извести (упор. »Кеие Ашап§8§гиш1е << в. н. м.). Ако се остојање АА' граничних линија АВ и А'В' подели на х једнаких делова, повуку луци граничних линија из поделних тачака између осовина АА' и ВВ', и ти луци означе редом с лева на десно са 8„ 8 2 , ... 8 3 .... а х _!, биће: 8 : 8^ = е, 8^: з 2 = е, з 2 : з 3 = е, .... 8^ ^: 8' е Множењем ових једначииа добијамо: 8 8^ 8 2 8 Х _ ј т ■ Т ' Т ^— = е ' д акле: Ој ОЈ 8 = а' • е х . § Да је е > 1 следује непосредно из претпоставке, да је е = —^ 8 > Вј. Једи3 1 ница дужине за остојање х два лука (односно остојање лукова 8 и 8^, 8^ и з 2 и т. д.) може се, пошто је произвољна, узети тако да е буде равно броју '2,7182818.... т. ј. бази природних логаритама. Ако се узме .у обзир кривина Добачевскове равни и полупречпив кривине означи са к (види примедбу 3), онда се да повазати да је, кад се једи8 ± ница дужине стави = к, однос — раван е, и према томе 8 = з' ■ е к. То следује по-