Просветни гласник

1176

ПРОСВЕТНП ГЛАСНИК

1) 8111 А = а 8111 В а 2 = 1) 2 -ј- с 2 — 2ћс соз А а 31п (А + с) = ћ 81П А С08 А + С08 (В + с) = 0 Прве две од ових једначина претпоставља обична геометрија; из друге две сдедује, узимајући у помоћ прве две, закључак А + В + С = п Према томе имагинарна геометрија прелази у обичну кад се претпостави, да су стране правол.инијског троугла врло мале 88 . 0 мерењу кривих линија, равних Фигура, површина и запремпне тела, као и о примени имагинарне геометрије на Анализу, објавио сам неколика испитивања 1 " у „Ученим записцима универзитета казанског". 86 Строго узев ово је сдучај само кад су стране нраволинијског троугла бесконачно мале. Ако у горње једначине за праволинијски троугао, пошто пх изразимо у хиперболним 1>ункцијама (упор. примедбу 83) уведемо констапту к, те ће једначине добити облик: 8Ш А • 3111ћ ^- = ВШ В • 81пћ к к 1з с 3/ ^ с СОВ А 81пћ т- созћ + созћ 7- = С08ћ -т— С08ћ -јк к к к к С08 А 81П С + совћ С08 С = со4гћ 8шћ ' к к к С08 А + С08 В С08 С = 8Ш В 8111 С С08ћ к Из њих следују једначине предходне примедбе за троугле у Евклидовој геоа ћ с „ , , метрији, кад односи —, —, -р иостану оесконачно мали, што ће опти или кад саме стране а, ћ, с постану бесконачно мале, или кад константа к за крајне вредности од а, ћ, с постане бесконачно велнка. Како је ова константа идентична са полупречником кривине Лобачевскове равни (в. прим. 47), то друга претпоставка води резултату, да се Евклидова геометрија има схватнти као један специјалан као гранични случај Лобачевскове геометрије. Из прве претпоставке пак следује . да Евклидова геометрија важи за бесконачно мале регијоне Лобачевскове равни (Упор. ЕпасћаиЈ, н. н. м. стр. 55). Интересантно је споменути, да је Гаус обрнуто пошао од ове последње претпоставке при извођењу Формула неевклидовске геометрије. Упор. В. Вопо1а, н. н. м. прим. на стр. 93 и Н. ћлећтапп, н. н. м. стр. 83. 87 Од резултата ових Лобачевскових испитивања споменућемо као најважнијс егзистенцију троугла максималне површине у његовој равни (чије су стране паралелне линије — асимтоте — а збир углова-= 0), чија је површина р = л на основу онште Формуле за површину троугла: р = п — (А+ в + С), у којој А, В и С означавају углове, а разлика п — (А + В + С) тзв. дефект троугла (који одговара ексцесу А + В + С — л сФерног троугла), као и да је површина. троугла у опште пропорционална овоме двФекту.