Записки Русскаго научнаго института въ Бѣлградѣ
3
Несмотря на столь частный характеръ, способы интегрирован!я Монжа и Ампера тЬмъ не мене заслуживаютъ вниман!я въ силу сльдующихъ соображений.
Труды обоихъ геометровъ хотя и не увфнчались успЪхомъ, но все же представляють попытки искан!я общихъ методовь интегрирован!я. Поэтому эти изслфдован!я представляютъ существенные моменты въ развит!и теор!и интетрирования уравнен!Й съ частными производными высшихъ порядковъ. КромЪ того они даютъ интересные теоретические примфры интегрировавя Якобевскихъ системъ линейныхъ уравненйй съ частными производными перваго порядка.
2. СлЪдуетъ прежде всего отм$тить различныя по сушеству постановки задачи, сдЪланныя Монжемъ и Амперомъ.
Монжьъ распространяеть на линейныя уравнен!я второго порядка пр!емьъ Лагранжа, которымъ посл$днему удалось ‘утождествить линейное уравнен!е перваго порядка, при помощи дифференщальной зависимости между дифференщалами функшональной и независимыхъ перемфнныхъ. Монжъ съ аналогичной цфлью вводить кромф того выражен!я диффе‘реншаловъ первыхъ двухъ частныхъ произвэдныхъ перваго порядка. ПослЪ того полученный результать подвергается геометрической интерпретащи, при помощи понят!я о характеристикахъ. Но если, пля уравненя съ частными производными перваго порядка, такой премъ даваль Лагранжу вполнф обший результатъ, то для уравнен!й второго порядка Монжъ не получаетъ аналогичнаго результата.
Наилучшее по простотЪ и ясности изложеше способа Монжа находится въ третьемъ томЪ трактата Дарбу, [лесоп$ зиг |а фбоше эвбибгае 4ез зшгЁ сез 6). Однако вполн$ удачнымъ примфромъ, долженствующимъ иллюстрировать разсматриваемую теор!ю, является только послфдн, четвертый, при: мЪръ, изъ облас, и механической теор1и теплоты.
Что касается первыхъ трехъ геометрическихъ задачъ, которыя приводятъ къ дифференшальнымъ уравненямъ второго порядка, то послБдн!я интегрируются весьма просто. Эти уравнения представляются въ видЪ точныхъ производныхъ '). Поэтому къ нимъ излишне примЪнять какую бы
8) Раг1з 1894, Срарйге У, р. 268.
7) Уравнен!е развертывающихся поверхностей 7 — $2 = 0 можеть быть написано, при помощи функшональнаго опредфлителя, сльдующимъ образомъ:
др 04 9р 04
о — ; отсюда й ==] (р
д%ду дуд ИР, гдЪ / — произвольн я функшя Общ интеграль послфдняго уравнен!я перваго порядка дается совокупностью двухъ уравненй: