Просветни гласник

34

ИЗ ИСТОРИЈЕ МАТЕМАТИКЕ

Пергеуеа читаву литературу тог врло важног предмета. Неки историјописци узимљу још већу прошлост овог испитквања конусних пресека. Па да би нам с погледом на ово , био Аполонијев рад јасан, вужно ће бити , да пређемо најпре начин постанка три различне криве линије, које су познате као конусни пресеци, а по имену: аараболе, елиисе и хшејоболе. Ако узмемо прав конус, код кога је угао (т. ј. угао на темену, што га образују стране конуса) = <т, па га пресечемо једном равнином, управно на осу, онда ће пресек бити паралелан основној кружној површини, а биће дакле и сам круг. Али, ако пресечна равнина стоји косо према конусовој оси, тако, да са страном образује угао а, који према в има аналогичан положај (као наизменични углови), па је а> а, онда ћемо у иресеку на омотачној површини конуса добити елиасу ; ако ли је пресечна равнина паралелна једној страни, дакле ако је а = <т, онда добијамо иараболу; и најзад ако је пресечна равнина паралелна конусовој оси, дакле а < а, онда имамо хииерболу. Докле је год <х константно (непроменљиво), дотле ће се на сваком правом конусу променом а добијати сва три облика пресека. Но ствар се може и преокренути. Може се рећи , да а треба да буде константно, и тада ће се променом а опет добити поменути пресеци, само — разуме се — на површини различних конуса. У оваквом случају вајудесније је, кад је непроменљиво а прав угао, = 90°, и тада би (У морало бити оштар, нрав а најзад туп угао, кад се хоће елипса, парабола и хипербола. На основу овога и посгала су старија имена ових кривих линија: иресек оштроуглог, иравоуглог и туиоуглог понуса. Јер у ствари Аристеус је проучавао конусне иресеке најпре на различним конусима, док најзад није Аполоније доказао, да се сви ти различни пресеци могу добити на сваком правом конусу, па био угао а ма какав. По подацима Папусовим, о томе не може бити ни најмање сумње. А да ли је Аполоније услед овог начина постанка одбацио стара имена, те употребио она друга за то удеснија, и о томе — по Папусовом казивању — не може бити сумње. То јест, Аполоније им је у смислу новог начина постанка дао ,

имена, по њиховим особинама, које добијају, кад се' образују на површини једног истог конуса. Имена су онаква иста, каква ми још и данас употребљавамо: елипса, парабола и хипербола, а алгебраиски их престављамо овим обрасцима: у 2 < рх, у 2 = рх и у г > рх. Кад се неби ни мало посумњало у истинитост Попусовог казивања, па би се сматрали сви њеГ'Јви подаци као историски истинити, онда би настало друго питање: да нису те особине конусних пресека биле познате пре Аполонија, па можда и пре Аристеуса, — особине , по којима су и постала имена елипса, парабола и хипербола ? Или, да нису те криве линије биле познате и пре самих конусних пресека? На овакву мисао навлачи нас тако-звана кардиодида, која је на свршетку Х7П века била позната као „катакаустик", а њено епициклоидно постајање било је пронаћено тек доцније. Па зар се није могло слично десити и са конусним пресецима? Вар се нису могле добити те криве линије као геометгшјска места извесних тачака ?... Узрок оваквог тврђења беше Платонов дијалог између Сократа и Мена. Но док једни по неким местима тога дијалога узимаху у тврдо, да је још Платон познавао поменуте особине, дотле су други та места (у дијалогу) сматрали као неразумљипа , изводећи разна тумачења појединих речи, што би можда могло задовољити Филолога, али математичара не. С тога се овом двјалогу Платоновом не може никако приписивати велика важност, већ морамо обратити већу пажњу на други један ®акт. У I књ. Јевклидових елемената наилазимо на овај задатак. Дата је површина Б\ права линија АВ и паралелограм; тражи се, да се на АВ нацрта такав паралелограм , који би имао једнаке углове с даним паралелограмом, и који може бити ве&и или мањи од Б 1 . Даљи је услов, да паралелограм буде и исте величине са Г. У првом случају, као гато Јевклид вели, површина Б 1 на линији АВ у неколико одстуаа — еХХнтсн, у другом случају преко АВ исаада — -отггр/ЗаХХи. У последњем пак случају постављен је задатак : да се на датој правој под датим углом тачно иостави — тта^а^аХХнг — паралелограм дане по-